比を簡単にする必勝法

クマ 比を簡単にするといっても、
    いくつで割ればいいか分からないときがあるよ。
リス 2でわれるのは偶数
タヌキ 3で割れる数は簡単な見つけ方があったね。
ウサギ それ公倍数のページにあったね。
リス 5で割れる数も簡単に見つかるよ。
タヌキ 1の位が0と5ならできるよ
クマ もっと大きな数字の時はどうするの

そんなときも、必勝法があるのです
その方法を、ユークリッドの互除法といいます。


9.1:3.9 を簡単にしよう。
これは、メールでいただいた質問です。
良い問題なので、ここへのせます。

その1(素数にして考える)

クマ まず10倍して
  9.1:3.9 =91:39 ここまでは分かるんだ。
ウサギ 91は分かりそうにないけど 39が割れる数は分かるよ
タヌキ 3でわれるね
     39=3×13 これ以上細かくならない(3も13も素数だ)
クマ ということは 91が3か13で割れなければこれ以上われないということだ。
    91は3では割れない
ウサギ 3で割れるかみつける方法は、公倍数のページにあったね。
タヌキ ということは、13で割れなければ両方の数を割れる数は(1以外)ないんだ。
クマ 91割る13=7 
   あれ割れた。
    91:39=91÷13:39÷13=7:3 できた!!!
ウサギ 片方の数をを素数に分解して
     その一つ一つで、割れる数を見つけると良いね。
クマ もっと簡単な方法はないの?

その2(引き算法=もりの学校の方法だけどわからないときは簡単!!)


クマ まず10倍して
  9.1:3.9 =91:39 ここまでは分かるんだ。
  でもこれじゃダメだって先生がいったんだ。
リス 偶数でも、3の倍数でも、5の倍数でもないね。
クマ もりの学校では引き算で見分けられるがあるっていったから
   引き算してみるよ
    91-39=52 だけど52ではわれないよ
リス もう一度引いてみたら
   52-39=13
ウサギ あれ、13 が見つかった。
    91:39=91÷13:39÷13=7:3 できた!!!
クマ どうして引き算で出来るの!!!

先生 91も39もある同じ数で割れるとき
    91-39=52 だから 52もある同じ数で割れる。
    91=39+52 とかんがえて
    そこで 39は ある同じ数で割れて 52が同じ数で割れなかったら
    91も同じ数で割れなくなっちゃうかおかしい。52も同じ数で割れるんだ。
    次に、52 と 39はある同じ数で割れるから
    52-39=13 となって、39も13も同じ数で割れる。
    ここで、39は13で割れて、13も13で割れるから、最初の数は13でわれるんだ。
クマ 引き算していくと、割れる数が出るの。
先生 ちゃんとするには、次のユークリッドの互除法っていう完ぺきな方法が必要だけど
    たいていの問題は引き算を1日以下二回すると見つかります。
クマ 何で割れるか見つからないとき便利だね。
先生 引き算法っていうのは、もりの学校で付けた名前だから、他では通様しないけどね。
(これは下のユークリッドの互除法をもりの学校で簡単にしたものだ。)

その3 ユークリッドの互除法


先生 上の引き算でたいていは出来るけど、コンピュータはユークリッドの互除法で見つけている。
    ユークリッドの互除法は、名前の通りわり算でするんだ。
    1, 大きい方を小さい方で割って 91÷39=2 余り 13
    2, 割った数を余りで割って 39÷13=3 割り切れた。
    3、割り切れたら このとき割った数 13 が公約数なんだ。
クマ 割りきれないときはどうするの
先生 割りきれないときは、余りがでる。 この余りで割った数を割る。
    割り切れたら、その数が公約数だ。
クマ 割りきれないときはどうするの
ウサギ どんどんくりかえせばいいんだよね。
リス 割れる数がないときは、どんどん小さくなって、最後は1になるんだね。
先生 これをユークリッドの互除法といいます。

どうしてそうなっているのって話は、引き算法がそのヒントになります。。
また・・・公約数公倍数のところで説明する予定ですが・・・

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